Oscillateur à pont de WIEN.

1. Le montage proposé.

1.1. Schéma du montage.

AOP amplificateur non-inverseur et pont de WIEN.

1.2. Les éléments du montage.

        • L'oscillateur électrique est constitué, d'un amplificateur non inverseur bâti autour d'un amplificateur opérationnel muni des résistances R1 et R2 assurant une réaction négative ; et d'un réseau déphaseur (le pont de WIEN) constitué par la mise en série, d'un dipôle série R0, C0, et d'un dipôle parallèle R0, C0.
        • On fait l'hypothèse que l'amplificateur opérationnel est quasiment idéal, il n'absorbe aucun courant sur ses entrées différentielles, sont gain différentiel est "très grand"...

1.3. Principe de fonctionnement.

        • Le réseau déphaseur soumis au potentiel de sortie `v_s(t)` de l'amplificateur non inverseur, alimente sous le potentiel `v_r(t)` l'entrée de ce même amplificateur ; on dit alors que l'on a affaire à un système bouclé.
        • Pour une fréquence `f_n` caractéristique du réseau déphaseur, le potentiel `v_r(t)` est en phase avec le potentiel `v_s(t)` .
        • Dans ces conditions, le potentiel `v_r(t)`, image du potentiel `v_s(t)`, est amplifié par l'amplificateur non inverseur, qui pour un réglage convenable des résistances R1 et R2 compense l'atténuation apportée par le réseau déphaseur.
       • Ainsi peut-on (ici) créer et entretenir des oscillations électriques dont on maîtrise a priori la fréquence.

2. Analyse du fonctionnement du montage dans l'hypothèse du régime linéaire,
    analyse en régime harmonique.

2.1. Hypothèses.

        • On se place dans le cadre du fonctionnement décrit au paragraphe 1.3..
        • On retient donc l'hypothèse du régime harmonique et on suppose que le système fonctionne en régime linéaire.
        • On suppose également que l'amplificateur opérationnel a un comportement quasiment idéal.

2.2. Étude de l'amplificateur non inverseur.

L'amplificateur non inverseur.

        • On suppose ici que l'amplificateur est soumis à un signal d'entrée `v_e(t)` (qui après bouclage s'identifiera à `v_r(t)`).
        • Compte tenu des hypothèses du paragraphe 2.1., on peut écrire :
                 `ul(V_s)=(1+R_2/R_1)ul(V_e)`, où `ul(V_s)`et `ul(V_e)`sont les représentants complexes des potentiels `v_s(t)`et `v_e(t)`, qui sont donc a priori, des fonctions sinusoïdales du temps.

2.3. Étude du réseau déphaseur.

Pont de WIEN.

        • Ce réseau déphaseur constitue ce que l'on appelle un pont de WIEN.
        • On peut écrire : `ul(V_r)=ul(V_s)/(1+(R_0+1/(jC_0 omega)).(1/R_0+jC_0 omega))` .
                - Où : `ul(V_r)`et `ul(V_s)`sont les représentants complexes des potentiels `v_r(t)`et `v_s(t)`, qui sont a priori, des fonctions sinusoïdales du temps.
                - La quantité :  `R_0+1/(jC_0 omega)` représente l'impédance complexe du circuit série R0, C0 .
                  - La quantité :  `1/R_0+jC_0 omega` représente l'admittance complexe du circuit parallèle R0, C0 .
        • Un développement élémentaire conduit à : `ul(V_r)=(jR_0C_0 omega ul(V_s))/(1-R_0^2C_0^2 omega^2+j3R_0C_0 omega)`.
                - On pose : `omega_n=1/(R_0 C_0) hArr f_n=1/(2piR_0C_0)`, alors il vient : `ul(V_r)=(jf/f_n  .ul(V_s))/(1-(f/f_n)^2+j3f/f_n)`.
                - On observe que pour `f=f_n`, `ul(V_r)=ul(V_s)/3`.
                - Alors `v_r(t)` et `v_s(t)`sont en phase, cependant l'amplitude Vr de `v_r(t)` n'est plus que le tiers de l'amplitude Vs de `vs(t)` .
Note : Ici `f_n~~1 kHz`.

2.4. Condition d'entretien des oscillations.

        • Des oscillations électriques à la fréquence `f_n` peuvent apparaître au sein du circuit bouclé, à condition que l'amplificateur ait un gain égal (ici) au minimum à trois, pour compenser l'atténuation apportée par le réseau déphaseur.
        • On doit alors vérifier : `3<=(1+R_2/R_1) rArr 2R_1<=R_2`.
Note : Si `R_1=4,7  kOmega`, alors il faut choisir `9,4  kOmega<=R_2`, et dans la série E12, on choisira : `R_2=10  kOmega`.
        • Nous venons de retrouver les conditions dites de BARKHAUSEN.

2.5. Quelques remarques.

Oscillation du montage à AOP.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.
        • Sur la base des résultats précédents, on câble la structure et l'on obtient bien les oscillations prévues ; cependant nous ne sommes pas maître de l'amplitude des oscillations, et on observe même que le signal de sortie est quelque peu écrêté à la valeur des potentiels de saturation `+-V_(sat)` de l'amplificateur opérationnel.
        • La fréquence d'oscillation est proche de 1 kHz.
        • L'approche intuitive précédente, décrit de manière imparfaite le fonctionnement du montage ; ainsi sommes nous incapables de prédire l'amplitude des oscillations `v_s(t)` et `v_r(t)`.
        • Aussi dans les paragraphes qui suivent, allons nous prendre en compte une non linéarité qui apparaît lors du fonctionnement du montage et qui permet de décrire de manière intelligible son fonctionnement.

3. Analyse du fonctionnement du montage dans l'hypothèse de l'existence d'une non linéarité.

3.1. Origine de la non linéarité.

        • À l'évidence c'est l'amplificateur non inverseur qui est à l'origine d'une non linéarité que nous allons modéliser sous la forme d'une saturation.

Ecrêtage de la tension de sortie de l'amplificateur.

Note :  Nous faisons toujours l'hypothèse que l'amplificateur opérationnel a un comportement idéal, et les potentiels de saturation supposés symétriques sont notés `+-V_(sat)`.
        • Tant que : `|v_e(t)|<V_(sat)/(1+R_2/R_1)` , l'amplificateur non inverseur a un comportement linéaire, et on peut écrire : `v_s(t)=(1+R_2/R_1)v_e(t)` .
        • Dès que : `V_(sat)/(1+R_2/R_1)<=|v_e(t)|` , l'amplificateur non inverseur est saturé et `v_s(t) = +-V_(sat)` , du signe de `v_e(t)`.

3.2. Étude du réseau déphaseur, équation différentielle liant `v_r(t)` et `v_s(t)`.

Réseau dephaseur en régime transitoire.

        • À chaque instant on peut écrire : `i_1=i_2+i_3` , `i_3=v_r/R_0` , `q_1=C_0(v_s -R_0.i_1-v_r)` ,  `i_1=(dq_1)/(dt)` , et `i_2=C_0 (dv_r)/(dt)` .
        • Un développement élémentaire conduit à l'équation différentielle suivante :
                  `R_0^2C_0^2(d^2v_r)/(dt^2)+3R_0C_0(dv_r)/(dt)+v_r=R_0C_0(dv_s)/(dt)` .

3.3. Équations décrivant le fonctionnement du système bouclé.

3.3.1. Remarque.

        • Comme le système est maintenant bouclé, `v_e(t)` s'identifie à `v_r(t)`.

3.3.2. Cas du fonctionnement en régime linéaire.

        • Alors : `|v_r(t)|<V_(sat)/(1+R_2/R_1)` ; d'où `v_s(t)=(1+R_2/R_1)v_r(t)` , et `(dv_s(t))/(dt)=(1+R_2/R_1)(dv_r(t))/(dt)` .
        • On a donc une équation de contrainte liant `v_s(t)` à `v_r(t)` ; aussi l'équation différentielle développée au paragraphe 3.2. s'écrit-elle :
                  `R_0^2C_0^2(d^2v_r)/(dt^2)+3R_0C_0(dv_r)/(dt)+v_r=R_0C_0(1+R_2/R_1)(dv_r(t))/(dt)` .
                - Soit encore : `R_0^2C_0^2(d^2v_r)/(dt^2)+R_0C_0(3-(1+R_2/R_1))(dv_r)/(dt)+v_r=0` .
                - Ou plus simplement : `R_0^2C_0^2(d^2v_r)/(dt^2)+R_0C_0(2-R_2/R_1)(dv_r)/(dt)+v_r=0`.

3.3.3. Cas du fonctionnement en régime non linéaire.

        • Alors : `V_(sat)/(1+R_2/R_1)<=|v_r(t)|` ; d'où `v_s(t)=+-V_(sat)` , du signe de `v_r(t)`, et `(dv_s(t))/(dt)=0` .
        • On a donc une nouvelle équation de contrainte liant `v_s(t)` à `v_r(t)` ; aussi l'équation différentielle développée au paragraphe 3.2. s'écrit-elle maintenant :
                  `R_0^2C_0^2(d^2v_r)/(dt^2)+3R_0C_0(dv_r)/(dt)+v_r=0` .

3.3.4. Mise en forme des équations.

3.3.4.1. Généralités.

        • Suivant les usages... nous allons mettre les équations sous forme canonique, c'est à dire :
                  `1/omega_n^2 (d^2v_r)/(dt^2)+2 z/omega_n (dv_r)/(dt)+v_r=0` .
                - Où `omega_n` désigne la pulsation naturelle du système physique (`f_n=omega_n/(2pi)` en est la fréquence naturelle) , et où `z` désigne le facteur d'amortissement du système physique.

3.3.4.2. Mise en forme.

        • Pour : `|v_r(t)|<V_(sat)/(1+R_2/R_1)` , on est en régime linéaire, et on écrit :
                 `1/omega_n^2 (d^2v_r)/(dt^2)+2 z_L/omega_n (dv_r)/(dt)+v_r=0` .
                - Avec : `omega_n=1/(R_0C_0)` , `f_n=1/(2piR_0C_0)` , et `z_L=1-R_2/(2R_1)` .
        • Pour : `V_(sat)/(1+R_2/R_1)<=|v_r(t)|` , on est en régime non linéaire, et on écrit :
                    `1/omega_n^2 (d^2v_r)/(dt^2)+2 z_(NL)/omega_n (dv_r)/(dt)+v_r=0` .
                  - Avec une fois encore : `omega_n=1/(R_0C_0)` , `f_n=1/(2piR_0C_0)` , et `z_(NL)=3/2` .

3.3.5. Faisons une application numérique et tirons en les conséquences.

        • Avec R0 = 5,6 kΩ et C0 = 27 nF, il vient: `f_n~~1 kHz`.
        • Pour le régime linéaire, avec R2 = 10 kΩ et R1 = 4,7 kΩ, il vient: `z_L~~-0,064` ; alors `z_L < 0` .
                  - Aussi les racines de l'équation caractéristique : `p^2/omega_n^2+2z_L p/omega_n+1=0`, sont-elles égales à :
                    `p_(1//2)=-omega_n z_L +- j omega_n sqrt(1-z_L^2`.
                  - Comme `z_L < 0` , ces racines sont à partie réelle positive `(-omega_n z_L)` , cela conduit à une solution fonction sinusoïdale du temps (présence du terme  `j omega_n sqrt(1-z_L^2` ), pondérée par le facteur `e^(-omega_n z_L  t` qui correspond à une croissance exponentielle dans le temps, ce qui entraîne inévitablement le dispositif vers une saturation !
        • Pour le régime non linéaire, `z_(NL)=1,5` ; alors `0<z_(NL)` .
                  - Aussi les racines de l'équation caractéristique : `p^2/omega_n^2+2z_(NL) p/omega_n+1=0`, sont-elles égales à :
                    `p_(1//2)=-omega_n z_(NL)  +- omega_n sqrt(z_(NL)^2-1)`.
                  - Comme `0<z_(NL)` , ces racines sont réelles et négatives, ce qui conduit à une solution contenant des exponentielles qui décroissent dans le temps, ce qui entraîne a priori le dispositif vers l'état de repos !
        • Il est clair que la discussion relative à la description des oscillations électriques ne peut plus aller plus avant ; aussi "faut-il passer" à l'intégration des équations ; c'est ce que nous allons décrire dans les paragraphes qui suivent, en mettant en oeuvre une méthode d'intégration numérique, la méthode de RUNGE-KUTTA d'ordre quatre (RK4,4) .

4. Mise en œuvre de la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4,
    pour déterminer numériquement (puis graphiquement),
    l'allure des signaux générés par l'oscillateur à pont de WIEN.

4.1. La méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4.

        •  La méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4 est une méthode numérique permettant de résoudre dans le cas le plus général, un système d'équations différentielles ordinaires (EDO) du premier ordre par approximation. Cette méthode a été mise au point par les mathématiciens Carl RUNGE et Martin Wilhelm KUTTA.
                  -  Rappelons qu'une équation différentielle ordinaire (EDO) de degré n, est de la forme :
                    `F(x,y(x),doty(x),ddoty(x),...,y^((n)) (x))=0`, où `y^((n)) (x)` est la derivée n-ième de `y(x)` par rapport à `x`.
                  - Pour une équation différentielle ordinaire du premier ordre, on calcule la solution de l'équation différentielle par itération, le raffinement de la méthode conduit à une erreur d'ordre quatre.
                  - Lorsque l'on a affaire à une équation différentelle ordinaire d'ordre n supérieur ou égal à deux, on peut la décomposer en un système de n équations différentielles ordinaires du premier ordre. On constitue alors un espace vectoriel des solutions, de dimension fini ; on dit que l'équation différentielle ordinaire de degré n est une fonction à valeur vectorielle. Bien entendu, la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4 s'applique à chaque composante vectorielle.

4.2. Mise en œuvre pratique de la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4.

4.2.1. Écriture du système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre.

        • Partons de l'expression générale de l'équation de fonctionnement :
                    `1/omega_n^2 (d^2v_r)/(dt^2)+2 z/omega_n (dv_r)/(dt)+v_r=0` , où `z` peut prendre la valeur `z_L` ou `z_(NL)` ; aussi l'équation n'est-elle pas à coefficients constants ! Il y a une non linéarité...
        • Nous pouvons écrire l'équation sous la forme : `1/omega_n^2 ddotv_r+2 z/omega_n dotv_r+v_r=0` .
                  - Où : `dotv_r=(dv_r)/(dt)` et `ddotv_r=(d dotv_r)/(dt)` .
                  - On peut encore écrire : `ddotv_r=-omega_n(omega_n v_r+2z dotv_r)` .
        • Nous allons décomposer cette équation différentielle ordinaire du second ordre, en un système de deux équations différentielles ordinaires du premier ordre.
        • Posons : `ul(v_r=u_0)`, et `(du_0)/(dt)=u_1` ; on en déduit `u_1=(dv_r)/(dt)`, soit `ul(dotv_r=u_1)` et `(du_1)/(dt)=(d dotv_r)/(dt)`, soit `ul(ddotv_r=(du_1)/(dt))`.
         • L'équation s'écrit alors : `(du_1)/(dt)=-omega_n(omega_n u_0+2z u_1)` .
         • Nous devons donc résoudre le systèmes de deux équations différentielles ordinaires du premier ordre suivant :
           `color(navy)((du_0)/(dt)=u_1)`
           `color(navy)((du_1)/(dt)=-omega_n(omega_n u_0+2z u_1))`
         • Où : `u_0=u_0(t)` et `u_1=u_1(t)` sont des fonctions du temps `t`.
Remarque : On a affaire à un système d'équations couplées, où `z` peut prendre la valeur `z_L` ou `z_(NL)` !

4.2.2. Conditionnement du calcul.

         • Dans la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4, on programme le système des deux équations différentielles ordinaires du premier ordre, et on précise les conditions initiales (ici au nombre de deux).
         • À la date `t=0  s` ,` v_r(0)=0  V rArr u_0(0)=0` , et `(dv_r(0))/(dt)=50` µV/µs ` rArr u_1(0)=50` .
Remarque : On fait l'hypothèse que le "bruit de fond" fait fluctuer le potentiel `color(navy) (v_r(t))` ...
         • `t` prend ses valeurs dans l'intervalle `[0, t_(Max)]`, et varie au pas `Delta t`.
         • On prendra en compte que :
                  - Si : `|v_r(t)|<V_(sat)/(1+R_2/R_1) rArr z=z_L` .
                  - Si : `V_(sat)/(1+R_2/R_1)<=|v_r(t)| rArr z=z_(NL)` .
         • L'algorithme de la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4 élabore une "table de données" constituée de n lignes contenant chacune le triplet : {`t, u_0(t), u_1(t)`}.
              - On résoud bien notre problème sous forme numérique, et l'exploitation de la "table de données" permet ici de donner l'évolution du signal `v_r(t)` .

4.3. Représentations graphiques.

4.3.1. Initialisation des calculs.

         • On donne : ±Vsat = ±14 V, R0 = 5,6 kΩ, C0 = 27 nF, R1 = 4,7 kΩ, R2 = 10 kΩ ou R2 = 12 kΩ .
         • Ici `t` prend ses valeurs dans l'intervalle `[0, t_(Max)]`, et varie au pas `Delta t` , avec :
                `t_(Max)=25` ms , `Delta t=25` µs.
         • À la date `t=0` s, `u_0(0)=0` , et `u_1(0)=50` .
         • Nous obtiendrons une "table de données"  formée de dix mille lignes contenant chacune le triplet : {`t, u_0(t), u_1(t)`}.

4.3.2. Évolution de vr(t).

4.3.2.1. Pour R2 = 10 kΩ.

vs(t) pour R2 = 10 kΩ.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.

4.3.2.2. Pour R2 = 12 kΩ.

vr(t) pour R2 = 12 kΩ.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.

4.3.3. Évolution de vs(t).

4.3.3.1. Pour R2 = 10 kΩ.

vs(t) pour R2=10 kΩ.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.

4.3.3.2. Pour R2 = 12 kΩ.

vs(t) pour R2 = 12  kΩ.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.

4.3.4. Étude dans le plan de phase ; c'est l'étude de `dotv_r (t)` en fonction de `v_r (t)`.

4.3.4.1. Pour R2 = 10 kΩ.

Plan de phase pour R2 = 10  kΩ.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.

4.3.4.2. Pour R2 = 12 kΩ.

Plan de phase pour R2 = 12  kΩ.

Remarque : Ce graphe a été tracé à l'aide du logiciel gnuplot®.
         • Le signal électrique est bien périodique, mais il n'est certainement pas sinusoïdal !

5. Intérêt pratique et remerciements.

5.1. Intérêt pratique.

         • L'étude de vr(t) confirme bien l'analyse préparatoire. Sous l'effet du "bruit de fond", l'oscillation électrique s'amorce et croît de manière exponentielle (en effet l'enveloppe de vr(t) a l'allure d'une exponentielle), bientôt on atteint la saturation et on passe en régime non linéaire, alors le signal vr(t) est contraint à décroître, puis on passe à nouveau en régime linéaire .etc.
         • Certes, on ne maîtrise pas l'amplitude de l'oscillation électrique, et la tension de sortie finit par être écrêtée à `+-V_(sat)`.
         • La fréquence d'oscillation reste voisine de `f_n~~ 1  kHz`.
         • A priori nous aurions pu intégrer les équations différentielles, mais nous aurions eu le plus grand mal à gérer le passage du mode de fonctionnement linéaire au mode de fonctionnement non linéaire.
         • Grâce à la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4, nous accédons aux signaux électriques "facilement".
         • Cependant, nous avons dû faire une analyse serrée, et donc "un peu de belle physique"...

5.2. Remerciements.

         • J'adresse mes plus vifs remerciements à Monsieur John BURKARDT, Chercheur invité du Département Informatique Scientifique, Florida State University (FSU) : John BURKARDT.
         • Monsieur John BURKARDT met à notre disposition, le code source écrit en C, de la méthode de RUNGE-KUTTA RK4,4, sous le vocable rk4.c, et un fichier d'en-tête rk4.h.
                  - Deux algorithmes sont développés  :
                           • "RK4 takes one Runge-Kutta step for a scalar ODE", qui permet de résoudre une équation différentielle ordinaire du premier ordre.
                           • "RK4VEC takes one Runge-Kutta step for a vector ODE", qui permet de résoudre un système de n équations différentielles ordinaires du premier ordre, l'équation différentielle ordinaire d'ordre n à l'origine de ce système de n équations différentielles ordinaires du premier ordre, est "bien" une fonction à valeur vectorielle.
         • Monsieur John BURKARDT met également à notre disposition, le code source écrit en C, de deux exemples permettant de tester les deux algorithmes proposés, sous le vocable rk4_prb.c.
                  -  Les trois fichiers peuvent être téléchargés à l'URL : <https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/c_src/rk4/rk4.html>.
         • Pour ma part, je vous propose de consulter un document html que j'ai rédigé à votre intention et qui traite de la "Mise en œuvre pratique de la méthode RK4,4 pour l'oscillateur à pont de WIEN", rendez-vous à la page "AOPRK4"...
         • Cette page n'aurait pas pu être composée sans les "outils" fournis par AsciiMath, à l'URL : <http://asciimath.org/>.
         • Cette page a pu être développée et affichée correctement grâce à l'utilisation du réseau de distribution de contenu MathJax (CDN). Toute la documentation relative à MathJax est accessible à l'URL : <http://docs.mathjax.org/en/latest/index.html>.
         • Les graphes ont été tracés à l'aide du logiciel gnuplot®, dont la documentation est accessible à l'URL : <http://www.gnuplot.info/>.
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